MATEMÁTICA   -   ATIVIDADES  -  8ª A, B, C

Habilidades e Competências: Reconhecer e utilizar procedimentos para obtenção de uma fração geratriz para uma dizima periódica

FRAÇÃO GERATRIZ

As dízimas periódicas podem ser simples ou composta, no caso do exemplo abaixo temos uma dízima periódica composta.

Qual seria a representação decimal da fração 76/495 ?

Note que neste caso o número de casas decimais da representação desta fração na forma decimal, não será um número finito. 76 dividido por 495 será algo como 0,1535353...

Se continuarmos o processo de divisão, iremos indefinidamente acrescentar um dígito 5, depois um 3, depois um 5 e assim por diante, sendo que sempre poderemos continuar acrescentando mais um dígito. A isto damos o nome de dízima periódica

A dízima periódica composta 0,1535353... foi gerada a partir da fração 76/495, por isto esta fração é chamada de fração geratriz da dízima periódica.

Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Compostas

A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois ela possui um anteperíodo que não se repete, no caso o número 1, e um período formado pelo número 53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas 0,535353... teríamos uma dízima periódica simples, pois ela possui apenas um período, 53, mas não um anteperíodo.

Veja abaixo alguns exemplos:

Exemplos de Dízimas Periódicas Simples

0,111... período igual a 1

0,252525... período igual a 25

0,010101... período igual a 01

0,123123123... período igual a 123

Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas

0,2333... anteperíodo igual a 2 e período igual a 3

0,45222... anteperíodo igual a 45 e período igual a 2

0,171353535... anteperíodo igual a 171 e período igual a 35

0,32101230123... anteperíodo igual a 32 e período igual a 0123

Transformando Dízimas Periódicas Simples em Frações Geratrizes

Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de dízimas periódicas simples, consiste em utilizarmos o período como numerador e utilizarmos como denominador um número formado por tantos dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. Vejamos:

0,111...   →  1/9

0,252525... → 25/99

0,010101... →  1/99

0,123123123... →  123/999

Repare no último exemplo que o numerador 123 e o denominador 999 não são primos entre si, de fato o seu máximo divisor comum não é 1, mas sim 3. Realizando a simplicação de ambos os termos por 3, a fração 123/999 será transformada na fração irredutível equivalente 41/333.

Caso a dízima possua uma parte inteira, basta a destacarmos e calcularmos a parte decimal como já explicado:

5,7373... 573/99

Note que 573/99 é uma fração mista que pode ser transformada na fração imprópria 568/99.

Transformando Dízimas Periódicas Compostas em Frações Geratrizes

Em função da existência de um anteperíodo, neste caso a técnica é ligeiramente diferente. Veja o exemplo abaixo:

0,171353535... →  (17135-171) / 99000   →   16964 / 99000

O número 17135 é formado pela junção do anteperíodo, 171, com o período, 35. Ao subtrairmos deste número o anteperíodo, obtemos 16964, o numerador da fração geratriz. O denominador é formado por tantos dígitos 9, quantos são os dígitos do período, assim como no caso das dízimas periódicas simples, seguidos de tantos dígitos 0, quantos são os dígitos do anteperíodo.

A fração 16964 / 99000 é passível de simplificação. Como o maior divisor de ambos os termos é quatro, a fração irredutível será 4241 / 2475.

Veja abaixo mais alguns exemplos:

0,2333... →  ( 23 - 2 ) / 90  →  21 / 90  →  7 / 90

0,45222...  → ( 452 - 45 ) / 900  →  407 / 900  

0,888313131...   →  ( 88831 - 888 ) / 99000  →  87943 / 99000

0,32101230123...  → ( 3210123 - 321 ) / 9999000  →  3209802 / 9999000

Atividade:

Com as informações acima, fazer as atividades do caderno do aluno volume 2, parte 1, páginas 62, 63 e 64.

  

 Exercícios complementares, entregar até dia 20/05/2020 no email: 

gilbertobastos@professor.educacao.sp.gov.br ou 

através da url : https://forms.gle/hPwk5Xqu7WFRxVR46 

1)     Considerando as dizimas periódicas abaixo, encontre a fração geratriz correspondente a cada uma delas:

a)     0,666666...

b)     0,25252525.....

c)     0,777777.....

d)     0,2222222......

e)     2,59595959.....

f)      1,333333.....

g)     0,1666666....

2)     A soma 1,333333...   +   0,16666...  é igual à:

a)     (   )1/2        b) (   )5/2          c)  (   )4/3        d)  (   )5/3       e)  (   ) 3/2